이처럼 우리가 수학이라는 학문의 명성에 부응하는 데 실패하는 이유는 간단하다. 수학 문제의 엄밀한 표기를 위해 고안된, 소위 수학적 기법 정도만 학생들에게 익숙하도록 할 뿐 그 근본 개념까지 이해시켜주지 않기 때문이다. 따라서 이런 불행한 학생들은 수학개념의 일반적 성질을 못 본 채 수학의 단편지식만 습득하는 데 몰두했음을 나중에 깨닫게 된다. […] 그러나 보편 개념을 되새기는 것을 소흘히 한 채 기술적인 방법에만 주력하는 것은 잘못된 일이다. 이는 곧 진실하지 못한 현학적 태도로 빠지는 길이기도 하다.

대부분의 사람들이 수학에서 가장 먼저 익히는 지식은 산술(arithmetic)을 통한 지식이다. 흔히 ‘둘 더하기 둘은 넷이다’라는 식의 진술은 모든 사람들이 듣게 되는 가장 간단한 수학적 명제의 형태로 여겨진다. […] 그런데 산술에서 가장 특기할 만한 사실은, 개체화할 수 있는 모든 것들에 대해 산술을 적용할 수 있다는 점이다. […] 이때 그 개체적 사물의 질적 특성은 산술과 전혀 무관하다. […] 따라서 우리는 수학의 특징으로 다음과 같은 점을 들게 된다. 수학은 개체적 사물은 물론이고 그 사물에 귀속된 성질이나 개념들에도 적용될 수 있는데, 그 근거는 성질, 개념 등도 여하한의 구체적 감각이나 감정과 상관없이 무차별적으로 개체화할 수 있는, 넓은 의미의 사물들이기 떄문이다. 사람들이 수학을 추상과학(abstract science)이라고 일컫는 것은 이러한 수학의 특성 때문이다.

[…] 따라서 수학적 개념들은, 추상적이기 때문에 사건의 추이과정에 대한 과학적 기술에 꼭 필요하다.

[…] 방정식의 해가 목표로 삼는 것은 이 미지항을 확정하는 일이다. […] ‘어떤’과 ‘임의’를 사용하는 과정에서 일어나는 ‘결정되지 않는 변수’의 개념이야말로 수학에서 진정으로 중요한 것이기 때문이다.

[…] 그런데 이처럼 간단한 기호처리 절차의 중요성은 무엇이란 말인가? 결론부터 밝히자면, 이와 같은 기호처리방식은 대수적 형식(algebraic form) 의 현대적 개념이 성장할 수 있는 단초를 제공했다는 점이다.

[…] 변수, 형식, 보편성이라는 이들 세 개념은 수학 과목 전체를 삼분하는 수학의 삼위일체를 구성한다. 이들 세 개념은 모두 추상적 본성이라는 동일한 뿌리에서 발생한다.

수학에서 가장 매력 있는 특성 중 하나는 전혀 다른 분야ㅐ의 개념과 결과들이 서로 아귀가 꼭 맞게 맞물린다는 점이다.

초등기하학의 기초를 공부하는 사람들조차 기존의 기하학에는 무언가 일관된 통찰방식이 결여되었다고 느꼈다. 명제는 늘 새로운 기법으로 증명되어야 했다. 이는 바꿔 말하면, 과학적 사고의 주요 필요요건인 체계를 갖춘 방법적 틀(method)이 결여되었다는 뜻이다. 여기에 좌표기하학 체계적 방식을 처음으로 도입해 특별한 입지를 이루었다.

그러므로 원뿔곡선에는 세 가지 유형, 즉 타원/포물선/쌍곡선이 존재한다.